Transforme a integral I=integralpi4^pi2 integral0^1 r^3 d r d theta de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando: x como variável independente;

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral dupla na coordenadas polares: . A gente vai transformar essa integral para coordenadas cartesianas, usando o como variável independente. Para isso, vamos precisar lembrar como são as relações entre as coordenadas polares e cartesianas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, lembrando das relações entre polares e cartesianas:
x = r cos theta e y = r sin theta
Também, no cálculo de integrais múltiplas, o elemento de área em coordenadas polares é . Como na nossa integral original temos , isso significa que estamos integrando em coordenadas cartesianas, já que .

Passo 3

Agora, vamos expressar os limites de integração. O ângulo varia de a , e o raio varia de 0 a 1. Em coordenadas cartesianas, isso corresponde a uma região onde varia de 0 a (já que e ), e para cada , varia de (linha ) até , mas como , o máximo será que é infinito, mas nosso está limitado a 1, então vai de até .

Passo 4

Vamos ajustar os limites para a integral em coordenadas cartesianas. Sabemos que I = integral0^raiz22 integralx^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx , então e . Além disso, entre e implica que .
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:

Passo 5

Finalmente, substituímos I = integral0^raiz22 integralx^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx na integral. Portanto, a integral transformada em coordenadas cartesianas é:

Resposta

A integral em coordenadas cartesianas fica:
I = integral0^raiz22 integralx^raiz1 - x^2 (x^2 + y^2) , dy , dx

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