Transforme a integral
de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando:
como variável independente;
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma integral dupla na coordenadas polares:
. A gente vai transformar essa integral para coordenadas cartesianas, usando o
como variável independente. Para isso, vamos precisar lembrar como são as relações entre as coordenadas polares e cartesianas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, lembrando das relações entre polares e cartesianas:
Também, no cálculo de integrais múltiplas, o elemento de área em coordenadas polares é
. Como na nossa integral original temos
, isso significa que estamos integrando
em coordenadas cartesianas, já que
.
Passo 3
Agora, vamos expressar os limites de integração. O ângulo
varia de
a
, e o raio
varia de 0 a 1. Em coordenadas cartesianas, isso corresponde a uma região onde
varia de 0 a
(já que
e
), e para cada
,
varia de
(linha
) até
, mas como
, o
máximo será
que é infinito, mas nosso
está limitado a 1, então
vai de
até
.
Passo 4
Vamos ajustar os limites para a integral em coordenadas cartesianas. Sabemos que
, então
e
. Além disso,
entre
e
implica que
.
Então, a integral em coordenadas cartesianas fica:
Passo 5
Finalmente, substituímos
na integral. Portanto, a integral transformada em coordenadas cartesianas é:
Resposta
A integral em coordenadas cartesianas fica:
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Calcule
para
Determine o domínio das seguintes funções: e)
Determine
se: b)
Resolva as seguintes desigualdades:
a)
a)