Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função vetorial
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para resolver isso, precisamos garantir que todas as expressões dentro das raízes quadradas sejam maiores ou iguais a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função:
. Para que isso seja definido, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte inequação:
Resolvendo essa inequação:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aplicamos a mesma lógica:
Resolvendo:
Passo 4
Por fim, analisamos a terceira componente:
. A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Para resolver essa inequação, fatoramos:
Os valores críticos são
e
. Testando os intervalos:
- Para
, o produto é positivo. - Para
, o produto é negativo. - Para
, o produto é positivo.
Então,
ou
.
Passo 5
Agora, juntamos todas as condições que encontramos:
-
(da primeira componente) -
(da segunda componente) -
ou (da terceira componente)
Para que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, precisamos que todas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo. Observando as condições, a única sobreposição que satisfaz todas é
.
Resposta
O domínio da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em
.
Verifique se a função
é contínua em .
é contínua em
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
Use os limites
e
para esboçar seu gráfico.
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.