Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função vetorial . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para resolver isso, precisamos garantir que todas as expressões dentro das raízes quadradas sejam maiores ou iguais a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é definida nos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente da função: . Para que isso seja definido, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, estabelecemos a seguinte inequação:
Resolvendo essa inequação:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . Aplicamos a mesma lógica:
Resolvendo:

Passo 4

Por fim, analisamos a terceira componente: . A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Para resolver essa inequação, fatoramos:
Os valores críticos são e . Testando os intervalos:
  • Para , o produto é positivo.
  • Para , o produto é negativo.
  • Para , o produto é positivo.
Então, ou .

Passo 5

Agora, juntamos todas as condições que encontramos:
  1. (da primeira componente)
  2. (da segunda componente)
  3. ou (da terceira componente)
Para que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, precisamos que todas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo. Observando as condições, a única sobreposição que satisfaz todas é .

Resposta

O domínio da função vetorial é:

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.