Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
F(t) = <3 + 2t, 4 - t, 1 + 3t>, t em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva que está associada à função vetorial , onde é um número real. Isso faz parte do conteúdo de funções vetoriais e geometria no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como interpretar cada componente da função vetorial e como isso se traduz em uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nos seus componentes individuais. A função tem três componentes que dependem de :
Essas equações paramétricas nos dizem como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que essas equações representam. Cada uma delas é uma função linear de , o que indica que estamos lidando com uma linha reta no espaço tridimensional. Para entender melhor, podemos reescrever essas equações de forma vetorial:
Aqui, é um ponto fixo pela qual a linha passa, e é o vetor diretor da linha, que indica a direção em que a linha se estende.

Passo 4

Para esboçar a curva, que nesse caso é uma linha reta, precisamos de um ponto de partida e a direção da linha. Usando o ponto e o vetor diretor , podemos traçar a linha no espaço. Se imaginarmos o espaço tridimensional, o ponto fica fixo, e o vetor diretor nos mostra para onde a linha vai seguindo.

Passo 5

Então, para desenhar a linha:
  1. Marque o ponto no espaço.
  2. A partir desse ponto, use o vetor para indicar a direção da linha. Isso significa que se você mover 2 unidades no eixo x, -1 unidade no eixo y e 3 unidades no eixo z, você estará seguindo a direção da linha.
  3. Repita esse movimento em ambos os sentidos para estender a linha indefinidamente.

Resposta

A curva associada à função vetorial é uma linha reta no espaço tridimensional que passa pelo ponto e tem como vetor diretor . O esboço dessa linha pode ser feito marcando o ponto inicial e desenhando a direção indicada pelo vetor diretor.

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