Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
Use os limites
e
para esboçar seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar noções de cálculo diferencial, como derivadas, que ajudam a determinar se uma função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda conforme
varia. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que se temos uma função
, a derivada é:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar o sinal dessa expressão para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que
é sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando
, onde a função não está definida (denominador zero).
Então, a derivada fica:
Isso significa que
é sempre negativo para todo
diferente de 1.
Passo 4
Como a derivada
é sempre negativa, isso nos indica que a função
está sempre decrescendo nos intervalos onde está definida.
Então, os intervalos de decrescimento são:
- De
até 1 ( ) - De 1 até
( )
Resposta
A função
está sempre decrescendo para todos os valores de
diferentes de 1. Portanto, os intervalos de decrescimento são:
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Determine o domínio das seguintes funções vetoriais:
.
A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante
, é dada por
Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em
.
Esboce a curva associada a cada uma das funções vetoriais:
.
Calcule a derivada de: