Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
f(x)=xx-1
Use os limites lim x infty xx-1=1, lim x -infty xx-1=1, lim x 1^+ xx-1=infty e lim x 1^- xx-1=-infty para esboçar seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar noções de cálculo diferencial, como derivadas, que ajudam a determinar se uma função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = xx-1 . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda conforme ( uv )' = u'v - uv'v^2 varia. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
A função é:
u' = 1 e v' = 1
Vamos usar a regra do quociente para derivar f'(x) = (1)(x - 1) - (x)(1)(x - 1)^2 = x - 1 - x(x - 1)^2 = -1(x - 1)^2 . A regra do quociente diz que se temos uma função , a derivada é:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora que temos a derivada f'(x) = -1positivo = negativo , vamos analisar o sinal dessa expressão para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Observamos que é sempre positivo, porque qualquer número ao quadrado é positivo, exceto quando , onde a função não está definida (denominador zero).
Então, a derivada fica:
Isso significa que é sempre negativo para todo diferente de 1.

Passo 4

Como a derivada é sempre negativa, isso nos indica que a função está sempre decrescendo nos intervalos onde está definida.
Então, os intervalos de decrescimento são:
  • De até 1 ( )
  • De 1 até ( )

Resposta

A função (-infty, 1) e (1, +infty) está sempre decrescendo para todos os valores de diferentes de 1. Portanto, os intervalos de decrescimento são:

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