Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores de para os quais a função está definida. Vamos precisar entender sobre raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz de um número negativo não é um número real. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, temos duas condições:
Passo 3
Vamos resolver a primeira condição: . Para facilitar, vamos fatorar o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem essa inequação. Vamos identificar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador é zero:
→
→
(denominador)
Então, os pontos críticos são , e .
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos para ver onde a expressão é positiva ou negativa:
Intervalo :
Escolha um valor, por exemplo, : → Negativo
Intervalo :
Escolha : → Positivo
Intervalo :
Escolha : → Negativo
Intervalo :
Escolha : → Positivo
Passo 6
Agora, queremos onde a expressão é maior ou igual a zero. Observando os intervalos:
→ Positivo
→ Positivo
Também devemos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
Quando ou , o numerador é zero, então , o que é válido.
Não podemos incluir porque o denominador seria zero, o que não é permitido.