e g(x) = x^3. Encontre os domínios e as imagens de f e g. Calcule f(g).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , e o que a gente precisa fazer é descobrir os domínios (os valores de que a função pode receber) e as imagens (os resultados que a função pode dar) de cada uma delas. Depois, vamos calcular a composição das funções, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de funções, domínio, imagem e composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Ela é uma função por partes, ou seja, depende do valor de para determinar qual expressão usar. Vamos ver cada caso:
Quando :
Essa é uma função linear, onde para cada , multiplicamos por 5.
Quando :
Aqui, multiplicamos por -1.
Quando :
Nesse caso, tiramos a raiz quadrada de .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o domínio e a imagem de .
Domínio de :
O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando as três partes:
Para , qualquer número real funciona.
Para , também qualquer número real entre 0 e 8 funciona.
Para , precisamos que seja maior que 8.
Então, o domínio de é todos os números reais:
Imagem de :
A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
Para :
Como pode ser qualquer número menor ou igual a zero, será sempre menor ou igual a zero.
Para :
Aqui, será sempre negativo, variando de -8 a 0.
Para :
A raiz quadrada de será sempre positiva e maior que .
Combinando tudo, a imagem de é:
Passo 4
Agora, vamos analisar a função .
Domínio de : é um polinômio de grau 3, e polinômios estão definidos para todos os números reais.
Imagem de :
Como pode assumir qualquer valor real dependendo de , a imagem também é todos os números reais.
Passo 5
Agora que temos os domínios e as imagens de e , vamos calcular a composição das funções, . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois aplicar no resultado de .
Vamos substituir na função :
Determinar em qual parte de se encaixa:
Se , usamos .
Se , usamos .
Se , usamos .
Encontrar os valores de que correspondem a cada caso: