Sejam
f(x) = { 5x, se x <= 0; -x, se 0 < x < 8; raiz(x), se x > 8 }
e g(x) = x^3. Encontre os domínios e as imagens de f e g. Calcule f(g).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, e , e o que a gente precisa fazer é descobrir os domínios (os valores de que a função pode receber) e as imagens (os resultados que a função pode dar) de cada uma delas. Depois, vamos calcular a composição das funções, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de funções, domínio, imagem e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Ela é uma função por partes, ou seja, depende do valor de para determinar qual expressão usar. Vamos ver cada caso:
  1. Quando :
    Essa é uma função linear, onde para cada , multiplicamos por 5.
  2. Quando :
    Aqui, multiplicamos por -1.
  3. Quando :
    Nesse caso, tiramos a raiz quadrada de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o domínio e a imagem de .
  • Domínio de :
    O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Observando as três partes:
    • Para , qualquer número real funciona.
    • Para , também qualquer número real entre 0 e 8 funciona.
    • Para , precisamos que seja maior que 8.
    Então, o domínio de é todos os números reais:
  • Imagem de :
    A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
    1. Para :
      Como pode ser qualquer número menor ou igual a zero, será sempre menor ou igual a zero.
    2. Para :
      Aqui, será sempre negativo, variando de -8 a 0.
    3. Para :
      A raiz quadrada de será sempre positiva e maior que .
    Combinando tudo, a imagem de é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a função .
  • Domínio de :
    é um polinômio de grau 3, e polinômios estão definidos para todos os números reais.
  • Imagem de :
    Como pode assumir qualquer valor real dependendo de , a imagem também é todos os números reais.

Passo 5

Agora que temos os domínios e as imagens de e , vamos calcular a composição das funções, . Isso significa que vamos aplicar primeiro e depois aplicar no resultado de .
Vamos substituir na função :
  1. Determinar em qual parte de se encaixa:
    • Se , usamos .
    • Se , usamos .
    • Se , usamos .
  2. Encontrar os valores de que correspondem a cada caso:
    • quando .
    • quando (já que ).
    • quando .
Então, a função composta fica assim:

Resposta

A composição das funções é:

Exercícios relacionados

Determine o domínio das seguintes funções:
y = raiz((x^2 - 4 x + 3) / x).
Utilize simetrias, transformações verticais, transformações horizontais e reflexões para esboçar os gráficos de:
f(x)=-3|x-c|+5 para c = 0,2, -3.
Esboce o gráfico de:
f(x)=(x+1)²+3.
Determine o domínio de:
y = log2(x - raiz(x)).