Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o domínio da série . Basicamente, isso significa descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, não “explode” para infinito. Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série , se calcularmos o limite:
E se , a série converge; se , a série diverge; se , o teste não nos dá informação.
Passo 3
Aplicando isso à nossa série, temos ak+1ak = (k+1)!x^k+1k!x^k = (k+1) cdot x . Vamos calcular :
Passo 4
Agora, aplicamos o limite para o teste:
L = limk to infty |(k+1) cdot x| = |x| cdot limk to infty (k+1)
Sabemos que L = |x| cdot infty , então:
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que |x| cdot infty < 1 :
Mas isso nunca é verdade, a não ser que .
Passo 6
Portanto, a única possibilidade para a série convergir é quando . Para qualquer outro valor de , mesmo que seja muito pequeno, o fator cresce tão rápido que a série diverge.