Determine o domínio da série dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o domínio da série . Basicamente, isso significa descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, não “explode” para infinito. Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série , se calcularmos o limite:
E se , a série converge; se , a série diverge; se , o teste não nos dá informação.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, temos . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos o limite para o teste:
Sabemos que , então:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que :
Mas isso nunca é verdade, a não ser que .

Passo 6

Portanto, a única possibilidade para a série convergir é quando . Para qualquer outro valor de , mesmo que seja muito pequeno, o fator cresce tão rápido que a série diverge.

Resposta

O domínio da série é apenas .

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A série é convergente ou divergente? Justifique.
Mostre que converge se e diverge se .
Determine o domínio da série dada por:
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