Determine o domínio da série dada por: sumk=1^+infty k!x^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos o domínio da série sumk=1^+infty k!x^k. Basicamente, isso significa descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, não “explode” para infinito. Para resolver isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série sum ak, se calcularmos o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
E se , a série converge; se , a série diverge; se , o teste não nos dá informação.

Passo 3

Aplicando isso à nossa série, temos ak+1ak = (k+1)!x^k+1k!x^k = (k+1) cdot x . Vamos calcular :

Passo 4

Agora, aplicamos o limite para o teste:
L = limk to infty |(k+1) cdot x| = |x| cdot limk to infty (k+1)
Sabemos que L = |x| cdot infty , então:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que |x| cdot infty < 1 :
Mas isso nunca é verdade, a não ser que .

Passo 6

Portanto, a única possibilidade para a série convergir é quando . Para qualquer outro valor de , mesmo que seja muito pequeno, o fator cresce tão rápido que a série diverge.

Resposta

O domínio da série sumk=1^+infty k!x^k é apenas .

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