Determine o domínio de :
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o domínio da função . Isso significa que a gente precisa encontrar todos os valores de que não fazem o denominador ser zero ou não definido, já que divisão por zero não existe. Vamos usar conceitos de funções racionais e módulos (valores absolutos) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Queremos garantir que esse denominador não seja igual a zero, porque aí a função fica indefinida. Então, vamos resolver a equação:

Passo 3

Para resolver isso, precisamos considerar os diferentes intervalos de que afetam os valores dos módulos e . Os pontos críticos são onde e , porque nesses pontos os valores dentro dos módulos mudam de sinal. Vamos analisar os intervalos:
  1. Para
  2. Para
  3. Para

Passo 4

1. Para :
Substituindo no denominador:
Então, nesse intervalo, o denominador não é zero.
2. Para :
Substituindo no denominador:
Queremos que :
Então, nesse intervalo, o denominador é zero somente quando . Portanto, esse valor deve ser excluído do domínio.
3. Para :
Substituindo no denominador:
Então, nesse intervalo, o denominador não é zero.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
  • Para : tudo certo, denominador diferente de zero.
  • Para : .
  • Para : tudo certo, denominador diferente de zero.
Além disso, precisamos garantir que não seja exatamente 2 ou 3, já que nos valores de e , as expressões dentro dos módulos ficam zeradas, mas, na verdade, não causam problemas no denominador como vimos nos passos anteriores.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto . Ou seja,

Exercícios relacionados

Mostre que é irracional.
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(n)
Determine a imagem de:
(b)
Determine a imagem de:
(e)