Determine a imagem de:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a imagem da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas, que são funções do tipo
. Para achar a imagem, ou seja, todos os valores possíveis que
pode assumir, vamos precisar entender um pouquinho sobre o formato do gráfico dessa função e usar um método chamado completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que fique mais fácil de identificar o valor mínimo ou máximo. A função dada é:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na função:
Passo 3
Agora, agrupamos os primeiros três termos para formar um quadrado perfeito:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Observando a expressão
, sabemos que o quadrado de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. Portanto:
Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Passo 5
Isso nos mostra que o menor valor que
pode assumir é
. Como a função é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), os valores de
vão do mínimo
até o infinito.
Resposta
A imagem da função
é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a
, ou seja:
Exercícios relacionados
Determine o domínio de :
(e)
(e)
Mostre que
é irracional.
Determine a imagem de:
(e)
(e)
Determine o conjunto solução de:
(a) ;
(a)