Determine a imagem de:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a imagem da função . Aqui, estamos trabalhando com funções quadráticas, que são funções do tipo . Para achar a imagem, ou seja, todos os valores possíveis que pode assumir, vamos precisar entender um pouquinho sobre o formato do gráfico dessa função e usar um método chamado completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que fique mais fácil de identificar o valor mínimo ou máximo. A função dada é:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -3, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor na função:

Passo 3

Agora, agrupamos os primeiros três termos para formar um quadrado perfeito:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Observando a expressão , sabemos que o quadrado de qualquer número é sempre maior ou igual a zero. Portanto:
Subtraindo de ambos os lados, temos:

Passo 5

Isso nos mostra que o menor valor que pode assumir é . Como a função é uma parábola que abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), os valores de vão do mínimo até o infinito.

Resposta

A imagem da função é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a , ou seja:

Exercícios relacionados

Determine o domínio de :
(e)
Mostre que é irracional.
Determine a imagem de:
(e)
Determine o conjunto solução de:
(a) ;