Mostre que
é irracional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que
é irracional. Primeiro, irracional significa que o número não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
. Para provar isso, vamos usar um método chamado prova por contradição. Isso quer dizer que vamos assumir que
é racional e chegar a uma contradição lógica.
Passo 2
Vamos supor que
é racional. Então, podemos escrevê-lo como uma fração reduzida, ou seja:
onde
e
são números inteiros que não têm nenhum divisor comum além de 1 (não estão simplificáveis).
Passo 3
Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso significa que
é múltiplo de 3.
Passo 4
Se
é múltiplo de 3, então
também deve ser múltiplo de 3. Isso é uma propriedade dos números inteiros: se um quadrado de um número é divisível por um primo, então o próprio número é divisível por esse primo. Então, vamos dizer que:
onde
é um número inteiro.
Passo 5
Substituindo
na equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por 3:
Isso mostra que
também é múltiplo de 3, o que implica que
também é múltiplo de 3.
Passo 6
Então, tanto
quanto
são múltiplos de 3, o que significa que eles têm pelo menos o divisor comum 3. Mas isso contraria nossa suposição inicial de que
estava em sua forma mais reduzida, sem divisores comuns além de 1.
Resposta
Chegamos a uma contradição, o que significa que nossa suposição inicial estava errada. Portanto,
é irracional.
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(n)
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(i) para algum
.
(i)
Determine o domínio de :
(e)
(e)
Determine a imagem de:
(b)
(b)