Mostre que é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que é irracional. Primeiro, irracional significa que o número não pode ser expresso como uma fração , onde e são números inteiros e . Para provar isso, vamos usar um método chamado prova por contradição. Isso quer dizer que vamos assumir que é racional e chegar a uma contradição lógica.

Passo 2

Vamos supor que é racional. Então, podemos escrevê-lo como uma fração reduzida, ou seja:
onde e são números inteiros que não têm nenhum divisor comum além de 1 (não estão simplificáveis).

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso significa que é múltiplo de 3.

Passo 4

Se é múltiplo de 3, então também deve ser múltiplo de 3. Isso é uma propriedade dos números inteiros: se um quadrado de um número é divisível por um primo, então o próprio número é divisível por esse primo. Então, vamos dizer que:
onde é um número inteiro.

Passo 5

Substituindo na equação , temos:
Dividindo ambos os lados por 3:
Isso mostra que também é múltiplo de 3, o que implica que também é múltiplo de 3.

Passo 6

Então, tanto quanto são múltiplos de 3, o que significa que eles têm pelo menos o divisor comum 3. Mas isso contraria nossa suposição inicial de que estava em sua forma mais reduzida, sem divisores comuns além de 1.

Resposta

Chegamos a uma contradição, o que significa que nossa suposição inicial estava errada. Portanto, é irracional.

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