Determine Du f em P.
(e) f(x, y) = arctan(y/x) ; P(-2, 2), u = -i - j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a derivada direcional no ponto para a função . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e gradiente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar o vetor gradiente no ponto , normalizar o vetor e, por fim, fazer o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e .
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de no ponto :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Precisamos agora normalizar o vetor . Para isso, calculamos o módulo de :
O vetor unitário é então:

Passo 5

Finalmente, calculamos o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Simplificando, temos:

Resposta

A derivada direcional em é .

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