Determine o gradiente de
no ponto indicado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo vetorial! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar com relação a
, tratamos
e
como constantes.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, temos que aplicar a regra do produto, já que
está multiplicando o logaritmo.
Passo 4
Por último, vamos derivar
em relação a
. Similar ao
, tratamos
e
como constantes ao derivar em relação a
.
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função
:
Passo 6
Vamos substituir o ponto
nas derivadas parciais para encontrar o valor do gradiente nesse ponto.
Primeiro, calculemos
.
Agora substituímos:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
.