Determine o gradiente de f no ponto indicado.
(b) f(x, y, z) = y * ln(x + y + z) ; (-3, 4, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo vetorial! A questão pede para a gente encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar com relação a , tratamos e como constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, temos que aplicar a regra do produto, já que está multiplicando o logaritmo.

Passo 4

Por último, vamos derivar em relação a . Similar ao , tratamos e como constantes ao derivar em relação a .

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente da função :

Passo 6

Vamos substituir o ponto nas derivadas parciais para encontrar o valor do gradiente nesse ponto.
Primeiro, calculemos .
Agora substituímos:

Resposta

O gradiente de no ponto é .

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