Determine se a função é contínua em toda a reta real. Explique seu raciocínio.
9.
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Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a função
é contínua em toda a reta real. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade e simplificação de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observamos que o numerador e o denominador podem ser fatorados:
Portanto, a função fica:
Passo 3
Simplificando a fração, podemos cancelar um fator
no numerador e no denominador:
Isso significa que a função simplificada é
, exceto quando
, onde ocorre uma indeterminação.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos onde a função original pode não ser contínua. A função
está indefinida quando o denominador é zero:
Portanto, a função não está definida em
e
.
Passo 5
Apesar da simplificação, em
ocorre uma descontinuidade removível, pois podemos redefinir a função nesse ponto para tornar a função contínua ali. No entanto, em
, a função continua indefinida, caracterizando uma descontinuidade.
Resposta
A função
não é contínua em toda a reta real, pois apresenta descontinuidades nos pontos
e
.