Determine duas funções distintas
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas funções diferentes, chamadas
, que têm derivadas parciais específicas em relação a
e
. As derivadas parciais dadas são:
Isso pertence ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de funções parciais para encontrar a função original.
Passo 2
Vamos começar integrando a derivada parcial em relação a
para encontrar
. Quando integramos
em relação a
, tratamos
como uma constante. Então:
Passo 3
Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Aqui,
é uma função qualquer de
, já que durante a integração em relação a
, qualquer função de
atua como uma constante.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda derivada parcial
para encontrar
. Primeiro, derivamos nossa expressão de
em relação a
:
Agora, igualamos isso à derivada parcial dada:
Percebemos que os termos com
já coincidem, então temos:
Passo 5
Vamos integrar
para encontrar
:
onde
é uma constante.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
Isso nos dá a forma geral da função
.
Passo 7
A questão pediu duas funções distintas. Isso significa que podemos escolher diferentes valores para a constante
. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
Essas são duas funções distintas que satisfazem as derivadas parciais dadas.
Resposta
Duas funções que satisfazem as condições são:
e
Exercícios relacionados
Escreva a função composta na forma
.
Identifique a função de dentro e a de fora
.] Então, encontre a derivada
.
Identifique a função de dentro
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.