Determine duas funções distintas f(x, y) tais que fx(x, y) = 6xy - 9y^2 + 7 e f_y(x, y) = 3x^2 - 18xy + 3y^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas funções diferentes, chamadas , que têm derivadas parciais específicas em relação a e . As derivadas parciais dadas são:
Isso pertence ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre integrais de funções parciais para encontrar a função original.

Passo 2

Vamos começar integrando a derivada parcial em relação a para encontrar . Quando integramos em relação a , tratamos como uma constante. Então:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Aqui, é uma função qualquer de , já que durante a integração em relação a , qualquer função de atua como uma constante.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda derivada parcial para encontrar . Primeiro, derivamos nossa expressão de em relação a :
Agora, igualamos isso à derivada parcial dada:
Percebemos que os termos com já coincidem, então temos:

Passo 5

Vamos integrar para encontrar :
onde é uma constante.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :
Isso nos dá a forma geral da função .

Passo 7

A questão pediu duas funções distintas. Isso significa que podemos escolher diferentes valores para a constante . Por exemplo:
  1. Se :
  1. Se :
Essas são duas funções distintas que satisfazem as derivadas parciais dadas.

Resposta

Duas funções que satisfazem as condições são:
e

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