Encontre as derivadas parciais das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o desafio aqui: precisamos encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do cálculo multivariável, onde trabalhamos com funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função arctangente, , em relação a é . Como nossa função depende de e , vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada uma dessas variáveis separadamente.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, usamos a regra da cadeia porque temos uma função composta: a arctangente de .

Passo 4

Primeiro, identifiquemos a função interna: . A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra da cadeia.

Passo 7

A função interna continua sendo . A derivada de em relação a é .

Passo 8

Aplicando a regra da cadeia, temos:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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A função se e se . Determine o valor de de modo que seja contínua.
Escreva a função composta na forma .
Identifique a função de dentro e a de fora .] Então, encontre a derivada .
Determine duas funções distintas tais que e .