Escreva a função composta na forma
.
Identifique a função de dentro
e a de fora
.] Então, encontre a derivada
.
Identifique a função de dentro
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos reescrever a função
na forma de uma função composta
. Isso significa identificar qual função está por dentro (
) e qual está por fora (
). Depois disso, vamos calcular a derivada
. O conteúdo envolvido aqui é a Derivada de Funções Compostas e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem nossa função composta. Observamos que dentro do argumento da tangente temos
. Isso sugere que a função de dentro é aquela que multiplica
por 3, e a função de fora é a tangente.
Passo 3
Vamos definir a função de dentro:
Aqui,
é uma função de
que simplesmente multiplica
por 3.
Passo 4
Agora, vamos definir a função de fora em termos de
:
Nesta etapa, estamos aplicando a função tangente ao resultado da função de dentro
.
Passo 5
Para encontrar a derivada
, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que:
Isso significa que precisamos calcular a derivada da função de fora em relação a
e multiplicar pela derivada da função de dentro em relação a
.
Passo 6
Calculando
:
A derivada da tangente é o quadrado da secante.
Passo 7
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é simplesmente 3.
Passo 8
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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tais que
e
.
Encontre a derivada da função.