Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(1 + 4x^2) y'' - 8y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que usa o método de séries de potências. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções linearmente independentes para essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como montar uma série de potências, calcular derivadas e igualar os coeficientes para resolver os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0 (Série de Taylor):
Essa é a nossa série de potências geral, onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Substituímos e na equação original:

Passo 5

Distribuímos o termo :
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, o termo sem :
Segundo, o termo com :
E finalmente, o termo constante:

Passo 6

Para facilitar a comparação dos coeficientes de , vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com :
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 7

Agora, juntamos todos os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero:

Passo 8

Isolamos :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes em termos de . Para encontrar as soluções, precisamos determinar a partir de valores iniciais.
Vamos considerar os dois casos para obter duas soluções linearmente independentes:
  1. Caso 1: arbitrário e
  2. Caso 2: arbitrário e

Passo 10

Caso 1: e
Usando a relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes de termos pares.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante, os coeficientes pares seguintes serão zero. Portanto, a solução é:
Caso 2: e
Novamente, usando a relação de recorrência, calculamos os coeficientes de termos ímpares.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
Continuando esse processo, obtemos a série de termos ímpares.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes para a equação dada, utilizando o método de séries de potências, são:
e
Onde é uma constante arbitrária.

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