Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que usa o método de séries de potências. A equação dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções linearmente independentes para essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como montar uma série de potências, calcular derivadas e igualar os coeficientes para resolver os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0 (Série de Taylor):
Essa é a nossa série de potências geral, onde
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. A primeira derivada de
é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Distribuímos o termo
:
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, o termo sem
:
Segundo, o termo com
:
E finalmente, o termo constante:
Passo 6
Para facilitar a comparação dos coeficientes de
, vamos ajustar os índices das somas para que todas comecem com
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Agora, juntamos todos os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Isolamos
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos uma relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes
em termos de
. Para encontrar as soluções, precisamos determinar
a partir de valores iniciais.
Vamos considerar os dois casos para obter duas soluções linearmente independentes:
- Caso 1:
arbitrário e - Caso 2:
arbitrário e
Passo 10
Caso 1:
e
Usando a relação de recorrência, podemos calcular os coeficientes de termos pares.
Por exemplo:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante, os coeficientes pares seguintes serão zero. Portanto, a solução é:
Caso 2:
e
Novamente, usando a relação de recorrência, calculamos os coeficientes de termos ímpares.
Por exemplo:
- Para
:
- Para
:
Continuando esse processo, obtemos a série de termos ímpares.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes para a equação dada, utilizando o método de séries de potências, são:
e
Onde
é uma constante arbitrária.
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