Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a ideia de séries de potências, ou seja, representar a solução
como uma série em torno de
e calcular os termos até a ordem 5.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar os cálculos. Vamos definir:
Assim,
corresponde a
. Agora, podemos escrever
como uma série de potências em
:
Onde
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Como
, substituímos:
Passo 5
Vamos reorganizar cada termo para ter potências de
semelhantes:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- O terceiro termo permanece:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham potências de
:
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- O terceiro termo:
Passo 7
Agora, combinamos todas as somas:
Isso deve ser igual a zero para todos os
, então os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 8
Vamos igualar os coeficientes de
a zero:
Para
:
Para
:
Simplificando:
Passo 9
Vamos expressar
em função de
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
Sabemos que
e
. Usando a série:
Para a derivada:
Então, temos
e
.
Passo 11
Agora, vamos calcular os coeficientes até
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Agora, temos os coeficientes até
:
Então, a solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
Substituindo
:
Resposta
A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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