Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' - (x - 2) y' - y = 0, y(2) = -1, y'(2) = 1.

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a ideia de séries de potências, ou seja, representar a solução como uma série em torno de e calcular os termos até a ordem 5.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar os cálculos. Vamos definir:
Assim, corresponde a . Agora, podemos escrever como uma série de potências em :
Onde são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em termos de :

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Como , substituímos:

Passo 5

Vamos reorganizar cada termo para ter potências de semelhantes:
  1. Para o primeiro termo:
  1. Para o segundo termo:
  1. O terceiro termo permanece:

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices para que todas as somas tenham potências de :
  1. Para o primeiro termo:
  1. Para o segundo termo:
  1. O terceiro termo:

Passo 7

Agora, combinamos todas as somas:
Isso deve ser igual a zero para todos os , então os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 8

Vamos igualar os coeficientes de a zero:
Para :
Para :
Simplificando:

Passo 9

Vamos expressar em função de e :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes:
Sabemos que e . Usando a série:
Para a derivada:
Então, temos e .

Passo 11

Agora, vamos calcular os coeficientes até :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 12

Agora, temos os coeficientes até :
Então, a solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
Substituindo :

Resposta

A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:

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Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + x y' + x^2 y = 0, y(-1) = 3, y'(-1) = -1.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' + 2 y' - x^2 y = 0, y(2) = 1, y'(2) = -1.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(1 + 4x^2) y'' - 8y = 0
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' - y' + x y = 0, y(2) = 1, y'(2) = 2.