Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' - y' + x y = 0, y(2) = 1, y'(2) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e .
Vamos precisar usar séries de potências para encontrar a solução até o termo de ordem 5. Para isso, vamos expandir a solução em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar os cálculos. Vamos definir:
Assim, estamos expandindo a série em torno de (ou seja, ). A função pode ser escrita como uma série de potências em :
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes até o termo de ordem 5.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em relação a :
Agora, substituímos , e na equação diferencial original. Mas antes disso, precisamos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo tudo na equação diferencial:
Agora, vamos multiplicar e reorganizar os termos para combinar os coeficientes de potências iguais de .

Passo 5

Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de :
  1. Primeira soma:
  1. Segunda soma:
  1. Terceira soma:

Passo 6

Agora, combinamos todas as somas:
Vamos ajustar novamente os índices para que todas as potências de estejam alinhadas:
Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero, temos duas equações:
  1. Para :
  1. Para :
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes .

Passo 8

Começamos encontrando e usando as condições iniciais.
Quando (ou seja, ):
Derivando :
Ao :
Então, já temos:

Passo 9

Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
A partir da primeira equação:
Podemos resolver para :
Usando e , vamos encontrar e .

Passo 10

Calculando os coeficientes:
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

Assim, os coeficientes até a ordem 5 são:
Portanto, a solução aproximada da equação diferencial até o termo de ordem 5 é:
Lembrando que , então substituindo de volta:

Exercícios relacionados

Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(1 + 4x^2) y'' - 8y = 0
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' - (x - 2) y' - y = 0, y(2) = -1, y'(2) = 1.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' - (2x + 5) y' - y = 0, y(-2) = 1, y'(-2) = 1.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + sen(x) y' + cos(x) y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1.