Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
.
Vamos precisar usar séries de potências para encontrar a solução até o termo de ordem 5. Para isso, vamos expandir a solução em torno de
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar os cálculos. Vamos definir:
Assim, estamos expandindo a série em torno de
(ou seja,
). A função
pode ser escrita como uma série de potências em
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
até o termo de ordem 5.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original. Mas antes disso, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo tudo na equação diferencial:
Agora, vamos multiplicar e reorganizar os termos para combinar os coeficientes de potências iguais de
.
Passo 5
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam em termos de
:
- Primeira soma:
- Segunda soma:
- Terceira soma:
Passo 6
Agora, combinamos todas as somas:
Vamos ajustar novamente os índices para que todas as potências de
estejam alinhadas:
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero, temos duas equações:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes
.
Passo 8
Começamos encontrando
e
usando as condições iniciais.
Quando
(ou seja,
):
Derivando
:
Ao
:
Então, já temos:
Passo 9
Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar os demais coeficientes.
A partir da primeira equação:
Podemos resolver para
:
Usando
e
, vamos encontrar
e
.
Passo 10
Calculando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Assim, os coeficientes até a ordem 5 são:
Portanto, a solução aproximada da equação diferencial até o termo de ordem 5 é:
Lembrando que
, então substituindo de volta:
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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