Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + x y' + x^2 y = 0, y(-1) = 3, y'(-1) = -1.

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências centrada em e calcular os coeficientes até o termo de ordem 5.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em . Isso significa que vamos expressar como:
onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos derivar para obter e :
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Precisamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre os coeficientes .

Passo 5

Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de . Depois disso, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes de cada potência de a zero. Isso nos fornece uma recorrência para os coeficientes .

Passo 6

Aplicando as condições iniciais e , encontramos os valores dos primeiros coeficientes:
Com esses valores, podemos calcular os coeficientes subsequentes usando a relação de recorrência obtida.

Passo 7

Calculamos os coeficientes , , e utilizando a relação de recorrência. Por exemplo:
E assim por diante, até .

Resposta

Após calcular os coeficientes até , a solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
onde os coeficientes são determinados pelas etapas anteriores.

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