Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências centrada em
e calcular os coeficientes até o termo de ordem 5.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
. Isso significa que vamos expressar
como:
onde
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para obter
e
:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Precisamos simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre os coeficientes
.
Passo 5
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de
. Depois disso, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero. Isso nos fornece uma recorrência para os coeficientes
.
Passo 6
Aplicando as condições iniciais
e
, encontramos os valores dos primeiros coeficientes:
Com esses valores, podemos calcular os coeficientes subsequentes usando a relação de recorrência obtida.
Passo 7
Calculamos os coeficientes
,
,
e
utilizando a relação de recorrência. Por exemplo:
E assim por diante, até
.
Resposta
Após calcular os coeficientes até
, a solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
onde os coeficientes
são determinados pelas etapas anteriores.
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências: