Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial
usando o método de séries de potências. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente utilizando séries de potências para resolver equações com coeficientes variáveis. Para isso, vamos precisar entender como expandir
em uma série de potências e substituir na equação para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de 0 (série de Taylor):
Isso significa que
é uma soma infinita de termos onde cada termo é um coeficiente
multiplicado por
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
. A primeira derivada
é:
E a segunda derivada
é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo as séries:
Passo 5
Simplificamos cada termo:
- Para
:
Podemos mudar o índice para
:
- Para
:
Mudando o índice para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, combinamos todos os termos na equação:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Vamos escrever a equação para cada
:
Simplificando:
Portanto, a relação de recorrência é:
Passo 8
Agora, precisamos determinar os coeficientes
. Como a equação é de segunda ordem, teremos dois casos principais baseados nos valores de
e
.
-
Primeira solução (
definido, ) - Escolhemos
e . - Aplicando a relação de recorrência:
- A série resultante será:
- Escolhemos
-
Segunda solução (
, definido) - Escolhemos
e . - Aplicando a relação de recorrência:
- A série resultante será:
- Escolhemos
Resposta
Duas soluções linearmente independentes são:
e
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Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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