Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x*y' + x^2*y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método de séries de potências. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e envolve expandir as soluções em séries de potências (como polinômios infinitos). Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos reindexar os somatórios para combinar as potências de . Ajustamos os índices de forma que todos os termos tenham :
Agora, ajustamos os índices para que todos os termos estejam em função de :

Passo 6

Agora, unimos os somatórios:
Para que a equação seja satisfeita para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 7

Vamos reorganizar a relação de recorrência para encontrar :
Essa equação nos permite encontrar os coeficientes em termos de e .

Passo 8

Para encontrar duas soluções linearmente independentes, podemos escolher diferentes valores para os coeficientes iniciais. Vamos considerar dois casos:
  1. Primeira solução ( ): Começamos com e .
  2. Segunda solução ( ): Começamos com e .

Passo 9

Primeira solução ( ):
Assumimos (constante) e .
Usando a relação de recorrência:
  • Para :
(Mas não existe, então consideramos ).
  • Para :
E assim por diante, percebemos que todos os coeficientes ímpares serão zero.
Vamos encontrar alguns coeficientes:
Portanto, a primeira solução é:

Passo 10

Segunda solução ( ):
Assumimos (constante) e .
Usando a relação de recorrência:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Portanto, a segunda solução é:

Resposta

As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial pelo método de séries de potências são:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' + y' - x y = 0.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(1 + 2 x^2) y'' + y' + (1 + x^2) y = 0.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x y' - 2 y = 0.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(x^2 + 4) y'' + 2 x y' - 12 y = 0