Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método de séries de potências. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e envolve expandir as soluções em séries de potências (como polinômios infinitos). Para resolver, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências e encontrar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos reindexar os somatórios para combinar as potências de
. Ajustamos os índices de forma que todos os termos tenham
:
Agora, ajustamos os índices para que todos os termos estejam em função de
:
Passo 6
Agora, unimos os somatórios:
Para que a equação seja satisfeita para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 7
Vamos reorganizar a relação de recorrência para encontrar
:
Essa equação nos permite encontrar os coeficientes
em termos de
e
.
Passo 8
Para encontrar duas soluções linearmente independentes, podemos escolher diferentes valores para os coeficientes iniciais. Vamos considerar dois casos:
- Primeira solução (
): Começamos com e . - Segunda solução (
): Começamos com e .
Passo 9
Primeira solução (
):
Assumimos
(constante) e
.
Usando a relação de recorrência:
- Para
:
(Mas
não existe, então consideramos
).
- Para
:
E assim por diante, percebemos que todos os coeficientes ímpares serão zero.
Vamos encontrar alguns coeficientes:
Portanto, a primeira solução é:
Passo 10
Segunda solução (
):
Assumimos
(constante) e
.
Usando a relação de recorrência:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, a segunda solução é:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
pelo método de séries de potências são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências: