Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial dada usando o método de séries de potências. A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências e determinar os coeficientes que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a solução
como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Passo 5
Vamos distribuir
e 4 na soma das séries:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Para facilitar, vamos reindexar os termos com
:
Passo 7
Agora, agrupamos todos os termos com
:
Como isso deve ser válido para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero:
Passo 8
Vamos simplificar a equação para encontrar a relação de recorrência:
Simplificando os termos de
:
Isolando
:
Passo 9
Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes
em função de
. Para começar, precisamos definir dois termos iniciais, geralmente
e
. Essas constantes serão determinadas pelas condições iniciais ou características específicas da solução.
Passo 10
Como não temos condições iniciais, vamos considerar
e
como parâmetros livres. Assim, obtemos duas soluções diferentes, cada uma correspondendo a uma escolha diferente de
e
. Essas duas soluções serão linearmente independentes.
Resposta
Portanto, as duas soluções linearmente independentes da equação dada, obtidas pelo método de séries de potências, são:
onde os coeficientes
e
são determinados pela relação de recorrência:
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Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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