Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(x^2 + 4) y'' + 2 x y' - 12 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial dada usando o método de séries de potências. A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como expandir a solução em uma série de potências e determinar os coeficientes que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a solução como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 5

Vamos distribuir e 4 na soma das séries:
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Para facilitar, vamos reindexar os termos com :

Passo 7

Agora, agrupamos todos os termos com :
Como isso deve ser válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 8

Vamos simplificar a equação para encontrar a relação de recorrência:
Simplificando os termos de :
Isolando :

Passo 9

Essa é a relação de recorrência que nos permite calcular os coeficientes em função de . Para começar, precisamos definir dois termos iniciais, geralmente e . Essas constantes serão determinadas pelas condições iniciais ou características específicas da solução.

Passo 10

Como não temos condições iniciais, vamos considerar e como parâmetros livres. Assim, obtemos duas soluções diferentes, cada uma correspondendo a uma escolha diferente de e . Essas duas soluções serão linearmente independentes.

Resposta

Portanto, as duas soluções linearmente independentes da equação dada, obtidas pelo método de séries de potências, são:
onde os coeficientes e são determinados pela relação de recorrência:

Exercícios relacionados

Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x y' - 2 y = 0.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x*y' + x^2*y = 0.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' - (1 + x^2) y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 2.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' + 2 y' - x^2 y = 0, y(2) = 1, y'(2) = -1.