Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' - (1 + x^2) y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos expandir a solução em uma série de potências e encontrar os coeficientes até o termo de ordem 5.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, representa os coeficientes que precisamos determinar. O método das séries de potências envolve encontrar uma relação de recorrência para esses coeficientes.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo e na equação diferencial:

Passo 4

Vamos expandir o termo :
Para alinhar os índices das somas, faremos substituições:
Agora, reescrevemos a equação diferencial com todas as somas alinhadas:
Vamos fazer uma mudança de índice na primeira soma para que todas as somas tenham :

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de a zero:
Para :
Para :
Para :
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e :
Agora, podemos calcular os coeficientes até :

Resposta

A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:

Exercícios relacionados

Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(x^2 + 4) y'' + 2 x y' - 12 y = 0
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x y' - 2 y = 0.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' + 2 y' - x^2 y = 0, y(2) = 1, y'(2) = -1.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + x y' + x^2 y = 0, y(-1) = 3, y'(-1) = -1.