Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos expandir a solução
em uma série de potências e encontrar os coeficientes até o termo de ordem 5.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
representa os coeficientes que precisamos determinar. O método das séries de potências envolve encontrar uma relação de recorrência para esses coeficientes.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
e
na equação diferencial:
Passo 4
Vamos expandir o termo
:
Para alinhar os índices das somas, faremos substituições:
Agora, reescrevemos a equação diferencial com todas as somas alinhadas:
Vamos fazer uma mudança de índice na primeira soma para que todas as somas tenham
:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os coeficientes
e
:
Agora, podemos calcular os coeficientes até
:
Resposta
A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
Exercícios relacionados
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.