Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O enunciado nos dá uma equação diferencial com condições iniciais e pede para encontrarmos a solução até o termo de ordem 5 usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
As condições iniciais são:
Nosso objetivo é encontrar uma solução
expressa como uma série de potências em torno de
até o termo de ordem 5.
Passo 3
Vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Vamos simplificar e reorganizar os termos para igualar os coeficientes de cada potência de
a zero, já que a equação deve valer para todo
:
Passo 7
Para facilitar, ajustamos os índices das somas para que todos os termos tenham a mesma potência
:
Aqui, assumimos que
para
.
Passo 8
Igualamos cada coeficiente a zero para obter uma relação de recorrência:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Com
e
, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes até
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A solução da equação diferencial até o termo de ordem 5 é:
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
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