Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' + 2 y' - x^2 y = 0, y(2) = 1, y'(2) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método das séries de potências. O enunciado nos dá uma equação diferencial com condições iniciais e pede para encontrarmos a solução até o termo de ordem 5 usando séries de potências. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
As condições iniciais são:
Nosso objetivo é encontrar uma solução expressa como uma série de potências em torno de até o termo de ordem 5.

Passo 3

Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes .

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos simplificar e reorganizar os termos para igualar os coeficientes de cada potência de a zero, já que a equação deve valer para todo :

Passo 7

Para facilitar, ajustamos os índices das somas para que todos os termos tenham a mesma potência :
Aqui, assumimos que para .

Passo 8

Igualamos cada coeficiente a zero para obter uma relação de recorrência:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e :
Para :
Para :

Passo 10

Com e , usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes até :
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A solução da equação diferencial até o termo de ordem 5 é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' - (1 + x^2) y = 0, y(0) = -2, y'(0) = 2.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(x^2 + 4) y'' + 2 x y' - 12 y = 0
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + x y' + x^2 y = 0, y(-1) = 3, y'(-1) = -1.
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
x y'' - (x - 2) y' - y = 0, y(2) = -1, y'(2) = 1.