Determine dy/dx usando a regra da cadeia, se:
b) y = arccos(t), t = ln^2(w) e w = x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! A questão pede para encontrar a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. A função dada é:
Então, estamos lidando com funções compostas. Vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções que são formadas pela composição de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Sabemos que:
A derivada de em relação a é:
Essa fórmula vem da derivada padrão da função arco cosseno.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Temos:
Para derivar isso, usamos a regra da cadeia novamente. Primeiro, derivamos o exterior ( ) e depois o interior ( ):
Aqui, usamos a derivada de , que é .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a :
A derivada de em relação a é simples:
Essa é a regra básica da potência.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia completa para encontrar :
Substituindo as derivadas que encontramos:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:
Lembrando que e , você pode substituir de volta se precisar de uma expressão só em função de .

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