Determine se a EDO dada é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
(2xy^2 + 2y) + (2x^2y + 2x)y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se uma determinada Equação Diferencial Ordinária (EDO) é exata. Se for exata, a gente também precisa encontrar a solução dela. A matéria que vamos mexer aqui é sobre Equações Diferenciais Exatas, e para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma EDO é exata e, se for, como encontrar sua solução usando essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação que nos vão ajudar a verificar se ela é exata. A EDO dada é:
Aqui, podemos ver que temos duas funções:
Essas funções estão associadas aos termos que não têm e aos que têm , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Isso é importante porque, para uma EDO ser exata, essas derivadas devem ser iguais.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos comparar:
Como as duas derivadas são iguais, isso confirma que a EDO é exata. Ou seja, existe uma função tal que:

Passo 5

Agora, vamos encontrar essa função . Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e que surge por causa da integração.
Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Para que isso seja verdade para todos os e , a derivada de deve ser zero:
Podemos chamar essa constante de .

Passo 6

Então, a função fica:
Essa é a solução geral da EDO exata que nos foi dada.

Resposta

A solução da EDO exata é:
Onde é uma constante arbitrária.

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