Determine se a EDO dada é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se uma determinada Equação Diferencial Ordinária (EDO) é exata. Se for exata, a gente também precisa encontrar a solução dela. A matéria que vamos mexer aqui é sobre Equações Diferenciais Exatas, e para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se uma EDO é exata e, se for, como encontrar sua solução usando essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação que nos vão ajudar a verificar se ela é exata. A EDO dada é:
Aqui, podemos ver que temos duas funções:
Essas funções estão associadas aos termos que não têm
e aos que têm
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Isso é importante porque, para uma EDO ser exata, essas derivadas devem ser iguais.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos comparar:
Como as duas derivadas são iguais, isso confirma que a EDO é exata. Ou seja, existe uma função
tal que:
Passo 5
Agora, vamos encontrar essa função
. Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e que surge por causa da integração.
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Para que isso seja verdade para todos os
e
, a derivada de
deve ser zero:
Podemos chamar essa constante de
.
Passo 6
Então, a função
fica:
Essa é a solução geral da EDO exata que nos foi dada.
Resposta
A solução da EDO exata é:
Onde
é uma constante arbitrária.