Use o Teorema da Existência e Unicidade de soluções para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
y = sen(x^2)
tem uma única solução. Encontre a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos pede para usar o Teorema da Existência e Unicidade para encontrar um intervalo onde essa equação tem uma única solução e, depois, encontrar essa solução. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e os critérios do teorema para garantir que temos uma solução única. Então, vamos organizar nossa resolução passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação dada é:
y = sen(x^2)
Vamos dividir ambos os lados por y = sen(x^2) (desde que y = sen(x^2)) para isolar y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Agora, está no formato padrão:
y = sen(x^2)
onde e .

Passo 3

O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, para uma equação diferencial da forma com condição inicial , há uma única solução no intervalo onde e são contínuos.
Então, precisamos verificar a continuidade de e ao redor do ponto .
  • é um polinômio, logo é contínuo para todo .
  • não é definida quando , ou seja, tem uma descontinuidade em .
Portanto, a solução única existirá em um intervalo que não inclua e que contenha . O maior intervalo possível é .

Passo 4

Agora que sabemos que a solução existe e é única no intervalo y = sen(x^2), vamos resolver a equação diferencial.
Temos:
y = sen(x^2)
Esta é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. O fator integrante y = sen(x^2) é dado por:
y = sen(x^2)
Como estamos trabalhando no intervalo y = sen(x^2), podemos simplificar y = sen(x^2).
Multiplicando a equação diferencial por y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
O lado esquerdo agora é a derivada do produto y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Integrando ambos os lados em relação a y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Para encontrar a constante y = sen(x^2), usamos a condição inicial y = sen(x^2):

Resposta

Portanto, a solução única do problema de valor inicial no intervalo y = sen(x^2) é:
y = sen(x^2)

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
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<div>(a) Show that <span class="math-inline ">
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(b) Find one solution of the form</div>
<div><span class="math-block ">
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<div>© Find a second solution using the method of reduction of order.</div>
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