Use o Teorema da Existência e Unicidade de soluções para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
tem uma única solução. Encontre a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos pede para usar o Teorema da Existência e Unicidade para encontrar um intervalo onde essa equação tem uma única solução e, depois, encontrar essa solução. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e os critérios do teorema para garantir que temos uma solução única. Então, vamos organizar nossa resolução passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por
(desde que
) para isolar
:
Agora, está no formato padrão:
onde
e
.
Passo 3
O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, para uma equação diferencial da forma
com condição inicial
, há uma única solução no intervalo onde
e
são contínuos.
Então, precisamos verificar a continuidade de
e
ao redor do ponto
.
-
é um polinômio, logo é contínuo para todo . - Já
não é definida quando , ou seja, tem uma descontinuidade em .
Portanto, a solução única existirá em um intervalo que não inclua
e que contenha
. O maior intervalo possível é
.
Passo 4
Agora que sabemos que a solução existe e é única no intervalo
, vamos resolver a equação diferencial.
Temos:
Esta é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Como estamos trabalhando no intervalo
, podemos simplificar
.
Multiplicando a equação diferencial por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resposta
Portanto, a solução única do problema de valor inicial no intervalo
é: