Use o Teorema da Existência e Unicidade de soluções para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial
{ t * y' + 2 * y = 4 * t^2, y(-1) = 2 }
tem uma única solução. Encontre a solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. O enunciado nos pede para usar o Teorema da Existência e Unicidade para encontrar um intervalo onde essa equação tem uma única solução e, depois, encontrar essa solução. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e os critérios do teorema para garantir que temos uma solução única. Então, vamos organizar nossa resolução passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por (desde que ) para isolar :
Agora, está no formato padrão:
onde e .

Passo 3

O Teorema da Existência e Unicidade nos diz que, para uma equação diferencial da forma com condição inicial , há uma única solução no intervalo onde e são contínuos.
Então, precisamos verificar a continuidade de e ao redor do ponto .
  • é um polinômio, logo é contínuo para todo .
  • não é definida quando , ou seja, tem uma descontinuidade em .
Portanto, a solução única existirá em um intervalo que não inclua e que contenha . O maior intervalo possível é .

Passo 4

Agora que sabemos que a solução existe e é única no intervalo , vamos resolver a equação diferencial.
Temos:
Esta é uma equação linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Como estamos trabalhando no intervalo , podemos simplificar .
Multiplicando a equação diferencial por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :

Resposta

Portanto, a solução única do problema de valor inicial no intervalo é:

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