Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais e, especificamente, tentar encontrar uma solução usando substituições que simplifiquem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação na forma
é exata se
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos buscar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever
como uma função de
. Calculando:
Isso sugere que a equação pode não ser homogênea diretamente, então uma substituição diferente pode ser mais eficiente.
Passo 4
Vamos tentar a substituição
. Com isso, temos
e diferenciando ambos os lados em relação a
, obtém-se:
Agora, substituímos
e
na equação original.
Passo 5
Substituindo na EDO:
Simplificando:
Dividindo tudo por
:
Passo 6
Expandindo e rearranjando:
Os termos
se cancelam:
Isolando
:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Exercícios relacionados
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
© ;
©
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(e) ;
(e)
Resolva os PVI(b)
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;
(b)