Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d) x y^2 dy + (x^3 - y^3) dx = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e, especificamente, tentar encontrar uma solução usando substituições que simplifiquem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se . Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos buscar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever como uma função de . Calculando:
Isso sugere que a equação pode não ser homogênea diretamente, então uma substituição diferente pode ser mais eficiente.

Passo 4

Vamos tentar a substituição . Com isso, temos e diferenciando ambos os lados em relação a , obtém-se:
Agora, substituímos e na equação original.

Passo 5

Substituindo na EDO:
Simplificando:
Dividindo tudo por :

Passo 6

Expandindo e rearranjando:
Os termos se cancelam:
Isolando :

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Podemos rearranjar os termos para separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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