Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d)
;
(d)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
O objetivo é determinar se essa EDO é exata e, se for, encontrar sua solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas, que nos permitem resolver a EDO através de uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO em uma forma que facilite a identificação dos termos
e
. Vamos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os demais termos do outro:
Agora, podemos expressar a EDO na forma padrão:
Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Assim, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando
:
Calculando
:
Como as derivadas parciais são iguais (
), a equação é exata.
Passo 4
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Primeiro, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Portanto:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar agrupando termos semelhantes:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é a constante de integração.