Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
O objetivo é determinar se essa EDO é exata e, se for, encontrar sua solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas, que nos permitem resolver a EDO através de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO em uma forma que facilite a identificação dos termos e . Vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os demais termos do outro:
Agora, podemos expressar a EDO na forma padrão:
Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por :
Assim, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :
Como as derivadas parciais são iguais ( ), a equação é exata.

Passo 4

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Portanto:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar agrupando termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;
Resolva os PVI(b)
Uma EDO é dita ser homogênea se as funções e são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real tal que
para todo .
© Mostre que a mudança de variável dependente transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO(a) ;