Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) (1 - 3/y + x) y' + y = 3/x - 1;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada:
O objetivo é determinar se essa EDO é exata e, se for, encontrar sua solução. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas, que nos permitem resolver a EDO através de uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO em uma forma que facilite a identificação dos termos e . Vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os demais termos do outro:
Agora, podemos expressar a EDO na forma padrão:
Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por :
Assim, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais:
Calculando :
Calculando :
Como as derivadas parciais são iguais ( ), a equação é exata.

Passo 4

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Portanto:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar agrupando termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é a constante de integração.

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