Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO(a) ;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Estamos lidando com EDOs de primeira ordem e, para resolver essa equação específica, vamos precisar usar a técnica das equações de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A nossa EDO está na forma:
onde , e . Isso caracteriza uma equação de Bernoulli, que é uma equação não linear. A ideia é transformá-la em uma equação linear que seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear, fazemos a substituição:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Vamos reescrever a EDO original em termos de .

Passo 4

A partir da EDO original:
Isolando :
Substituindo na expressão de :
Mas como , temos . Então:
Essa é uma equação linear em termos de .

Passo 5

A equação linear resultante é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Uma EDO é dita ser homogênea se as funções e são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real tal que
para todo .
© Mostre que a mudança de variável dependente transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
Resolva os PVI(e)
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