Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO(a)
;
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
. Estamos lidando com EDOs de primeira ordem e, para resolver essa equação específica, vamos precisar usar a técnica das equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. A nossa EDO está na forma:
onde
,
e
. Isso caracteriza uma equação de Bernoulli, que é uma equação não linear. A ideia é transformá-la em uma equação linear que seja mais fácil de resolver.
Passo 3
Para transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear, fazemos a substituição:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Vamos reescrever a EDO original em termos de
.
Passo 4
A partir da EDO original:
Isolando
:
Substituindo
na expressão de
:
Mas como
, temos
. Então:
Essa é uma equação linear em termos de
.
Passo 5
A equação linear resultante é:
Para resolver essa equação, vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Uma EDO
é dita ser homogênea se as funções
e
são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
© Mostre que a mudança de variável dependente transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
© Mostre que a mudança de variável dependente
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
(d)
Resolva os PVI(e)
Resolva os PVI(a)