Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b)
;
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar qual área da matemática vamos utilizar. O problema nos solicita encontrar um fator integrante que transforme a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada em uma equação exata e, em seguida, resolver essa EDO. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação exata:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a seguinte condição é satisfeita:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que torne a equação exata quando multiplicarmos ambos os lados por
.
Assumimos que
depende apenas de
, ou seja,
. A condição para que a equação se torne exata é:
Substituindo
e
:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos ignorar a constante de integração
no fator integrante, então:
Passo 5
Agora que temos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação diferencial original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que
, então
, onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva os PVI(b)
Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d)
.
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
(d)
Uma EDO
é dita ser homogênea se as funções
e
são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
© Mostre que a mudança de variável dependente transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
© Mostre que a mudança de variável dependente