Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) cos(x) dx + (1 + 2/y) sen(x) dy = 0;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar qual área da matemática vamos utilizar. O problema nos solicita encontrar um fator integrante que transforme a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada em uma equação exata e, em seguida, resolver essa EDO. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação exata:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a seguinte condição é satisfeita:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata quando multiplicarmos ambos os lados por .
Assumimos que depende apenas de , ou seja, . A condição para que a equação se torne exata é:
Substituindo e :
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos ignorar a constante de integração no fator integrante, então:

Passo 5

Agora que temos o fator integrante , vamos multiplicar a equação diferencial original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que , então , onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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