Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo e identificar qual área da matemática vamos utilizar. O problema nos solicita encontrar um fator integrante que transforme a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada em uma equação exata e, em seguida, resolver essa EDO. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação exata:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a seguinte condição é satisfeita:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata quando multiplicarmos ambos os lados por .
Assumimos que depende apenas de , ou seja, . A condição para que a equação se torne exata é:
Substituindo e :
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos ignorar a constante de integração no fator integrante, então:

Passo 5

Agora que temos o fator integrante , vamos multiplicar a equação diferencial original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata. Podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que , então , onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva os PVI(b)
Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d) .
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
Uma EDO é dita ser homogênea se as funções e são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real tal que
para todo .
© Mostre que a mudança de variável dependente transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.