Resolva os PVI(b)

Passo 1

Ok, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me passou. A gente tem uma equação diferencial do tipo \emph{linear}, e precisamos encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita a resolução.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Ficamos com:
Isso porque ao multiplicar, a equação se torna uma derivada do produto .

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito, a integral de é (usando integração por partes).
Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Substituímos o valor de na expressão de :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d) .
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
© ;
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;