Resolva os PVI(b)
Passo 1
Ok, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me passou. A gente tem uma equação diferencial do tipo \emph{linear}, e precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
O fator integrante ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita a resolução.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Ficamos com:
Isso porque ao multiplicar, a equação se torna uma derivada do produto
.
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito, a integral de
é
(usando integração por partes).
Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Substituímos o valor de
na expressão de
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Utilizando o Exercício 9, resolva as EDO(d)
.
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
© ;
©
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;
(b)
Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
(d)