Uma EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é dita ser homogênea se as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real alpha tal que
M(t x, t y) = t^α M(x, y) e N(t x, t y) = t^α N(x, y)
para todo t.
© Mostre que a mudança de variável dependente u = y / x transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) homogêneas. Isso significa que as funções que compõem a equação, e , têm o mesmo grau de homogeneidade. A gente precisa mostrar que, ao fazer a mudança de variável , a equação se transforma em uma equação de variáveis separáveis. Para isso, vamos usar substituições e propriedades de funções homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a mudança de variável . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Aqui usamos a regra do produto para derivar.

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original . Ficará:

Passo 5

Como e são funções homogêneas de grau , podemos fatorar de cada termo:
Simplificando:

Passo 6

Isolamos :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Observamos que a equação agora está na forma:
Isso pode ser rearranjado para:
onde é uma função de . Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Resposta

Ao fazer a mudança de variável , a equação homogênea se transforma em uma equação de variáveis separáveis, permitindo resolver e de forma independente.

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