Uma EDO
é dita ser homogênea se as funções
e
são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
© Mostre que a mudança de variável dependente
transforma a equação homogênea em uma equação de variáveis separáveis.
© Mostre que a mudança de variável dependente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) homogêneas. Isso significa que as funções que compõem a equação,
e
, têm o mesmo grau de homogeneidade. A gente precisa mostrar que, ao fazer a mudança de variável
, a equação se transforma em uma equação de variáveis separáveis. Para isso, vamos usar substituições e propriedades de funções homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a mudança de variável
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Aqui usamos a regra do produto para derivar.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original
. Ficará:
Passo 5
Como
e
são funções homogêneas de grau
, podemos fatorar
de cada termo:
Simplificando:
Passo 6
Isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Observamos que a equação agora está na forma:
Isso pode ser rearranjado para:
onde
é uma função de
. Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Resposta
Ao fazer a mudança de variável
, a equação homogênea
se transforma em uma equação de variáveis separáveis, permitindo resolver
e
de forma independente.
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Determine se a EDO dada é exata. Se for exata, resolva-a.
(d) ;
(d)
Encontre o fator integrante que torne a EDO dada em uma equação exata e resolva a EDO.
(b) ;
(b)
Utilizando o Exercício 11, resolva as EDO(a)
;
Resolva os PVI(e)