Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por: y = c1 e^(10 x) + c2 x e^(10 x);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar a EDO a partir das suas soluções.

Passo 2

Sabemos que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser escrita em termos de funções exponenciais. Quando a solução geral é da forma , isso indica que a equação característica tem uma raiz dupla .

Passo 3

Vamos identificar o valor de na solução dada. Observando a solução geral , vemos que . Isso significa que a equação característica da EDO tem uma raiz dupla em 10.

Passo 4

Com essa informação, podemos escrever a equação característica. Para uma raiz dupla , a equação característica é , onde representa a derivada em relação a .

Passo 5

Agora, vamos expandir a expressão . Isso dá:
Portanto, a EDO correspondente é:

Passo 6

Substituindo por , a EDO fica:
Essa é a equação diferencial que atende à solução geral fornecida.

Resposta

A EDO linear homogênea que satisfaz a solução geral é:

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