Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A questão quer que a gente encontre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar a EDO a partir das suas soluções.
Passo 2
Sabemos que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser escrita em termos de funções exponenciais. Quando a solução geral é da forma
, isso indica que a equação característica tem uma raiz dupla
.
Passo 3
Vamos identificar o valor de
na solução dada. Observando a solução geral
, vemos que
. Isso significa que a equação característica da EDO tem uma raiz dupla em 10.
Passo 4
Com essa informação, podemos escrever a equação característica. Para uma raiz dupla
, a equação característica é
, onde
representa a derivada em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos expandir a expressão
. Isso dá:
Portanto, a EDO correspondente é:
Passo 6
Substituindo
por
, a EDO fica:
Essa é a equação diferencial que atende à solução geral fornecida.
Resposta
A EDO linear homogênea que satisfaz a solução geral
é: