Seja f(x, y, z)=y e^z sen(x z). Determine partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A função que temos é . O objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a , e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = y e^z cdot ddx sen(x z) em relação a ddx sen(x z) = cos(x z) cdot z , que é representada por partial fpartial x = y e^z cdot z cos(x z) = y z e^z cos(x z) . Nessa etapa, consideramos e como constantes, já que estamos diferenciando apenas em relação a .
A função pode ser vista como multiplicado por . Como é constante em relação a , a derivada fica:
Sabemos que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = e^z sen(x z) em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é linear em , então a derivada em relação a é simplesmente:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial z = y cdot ddz ( e^z sen(x z) ) em relação a ddz ( e^z sen(x z) ) = e^z sen(x z) + e^z cdot x cos(x z) , representada por partial fpartial z = y e^z sen(x z) + y x e^z cos(x z) . Nessa parte, e são tratados como constantes.
A função tem duas partes que dependem de : e . Para derivar em relação a , usamos a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Assim, temos:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y z e^z cos(x z)

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