Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja dada por:
Aqui,
e
são constantes arbitárias. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver este problema.
Passo 2
Sabemos que a solução geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
onde
e
são as raízes da equação característica associada à EDO.
No nosso caso, a solução envolve funções trigonométricas (cosseno e seno), o que indica que as raízes da equação característica são complexas. Especificamente, elas são da forma
.
Passo 3
Comparando com a nossa solução:
vemos que não há termo exponencial de
, o que significa que
. Assim, as raízes são puramente imaginárias:
Passo 4
A equação característica para uma EDO de segunda ordem é dada por:
Com as raízes
, sabemos que:
Portanto, substituindo na equação característica:
Passo 5
Agora, traduzindo isso de volta para a EDO, a equação diferencial correspondente é:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
.
Resposta
A EDO linear homogênea cuja solução geral é é: