Determine uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por: y = c1 cos(3 x) + c2 sen(3 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja dada por:
Aqui, e são constantes arbitárias. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver este problema.

Passo 2

Sabemos que a solução geral de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma:
onde e são as raízes da equação característica associada à EDO.
No nosso caso, a solução envolve funções trigonométricas (cosseno e seno), o que indica que as raízes da equação característica são complexas. Especificamente, elas são da forma .

Passo 3

Comparando com a nossa solução:
vemos que não há termo exponencial de , o que significa que . Assim, as raízes são puramente imaginárias:

Passo 4

A equação característica para uma EDO de segunda ordem é dada por:
Com as raízes , sabemos que:
Portanto, substituindo na equação característica:

Passo 5

Agora, traduzindo isso de volta para a EDO, a equação diferencial correspondente é:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Resposta

A EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

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