As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções , e são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.) ao longo do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a descobrir se uma combinação linear dessas funções resulta apenas na solução trivial (ou seja, todos os coeficientes iguais a zero) ou se existe uma combinação não trivial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que funções sejam linearmente independentes ou dependentes. Três funções são linearmente independentes se a única solução para a equação for todas as é . Se existir uma combinação onde pelo menos um dos coeficientes não é zero, então as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação de combinação linear:
Queremos encontrar se os únicos valores que satisfazem essa equação para todo são .

Passo 4

Sabemos da identidade das funções hiperbólicas que:
Vamos reescrever isso para se adequar à nossa combinação linear:
Comparando com a nossa combinação linear, vemos que podemos associar:
Essa é uma solução onde nem todos os coeficientes são zero que satisfaz a equação.

Passo 5

Como encontramos uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaz a equação, isso significa que as funções não são todas independentes. Portanto, elas são linearmente dependentes.

Resposta

As funções , e são linearmente dependentes ao longo do eixo .

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Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Determine para quais valores de pode-se afirmar: se e , então .
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo ?