As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções
,
e
são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.) ao longo do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a descobrir se uma combinação linear dessas funções resulta apenas na solução trivial (ou seja, todos os coeficientes iguais a zero) ou se existe uma combinação não trivial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que funções sejam linearmente independentes ou dependentes. Três funções são linearmente independentes se a única solução para a equação
for todas as
é
. Se existir uma combinação onde pelo menos um dos coeficientes não é zero, então as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar a equação de combinação linear:
Queremos encontrar se os únicos valores que satisfazem essa equação para todo
são
.
Passo 4
Sabemos da identidade das funções hiperbólicas que:
Vamos reescrever isso para se adequar à nossa combinação linear:
Comparando com a nossa combinação linear, vemos que podemos associar:
Essa é uma solução onde nem todos os coeficientes são zero que satisfaz a equação.
Passo 5
Como encontramos uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que satisfaz a equação, isso significa que as funções não são todas independentes. Portanto, elas são linearmente dependentes.
Resposta
As funções
,
e
são linearmente dependentes ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Usando o Wronskiano, mostre a independência linear dos seguintes pares de funções (índices diferentes significam constantes diferentes).
Determine para quais valores de
pode-se afirmar: se
e
, então
.
Determine uma EDO linear homogênea para a qual as funções dadas formam uma base de soluções:
As seguintes funções são L.I. ou L.D. sobre o eixo
?