Determine quais EDOs são exatas. Em caso positivo, resolva-as:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a EDO
é exata. Se for, a gente resolve. Aqui estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e vamos precisar usar o conceito de exatidão para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da EDO:
A condição para a EDO ser exata é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a EDO é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da EDO é dada por
. Então:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.