Exercício 15.2, Questão 2.2: Calcule a integral iterada integral2^4 integral-1^1(x^2-y^2) d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a integral iterada . Isso é relacionado ao assunto de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral-1^1 x^2 , dy - integral-1^1 y^2 , dy
Integrando x^2 integral-1^1 dy = x^2 [y]-1^1 = x^2 (1 - (-1)) = 2x^2 em relação a - integral-1^1 y^2 , dy = -[y^33]-1^1 = -(13 - (-1)^33) = -(13 + 13) = -23 :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Integrando em relação a :

Passo 4

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
2x^2 - 23
Isso simplifica a nossa integral original para:
integral2^4 (2x^2 - 23) , dx

Passo 5

Vamos calcular essa integral externa. Vamos separar novamente:
2 integral2^4 x^2 , dx - 23 integral2^4 dx
Integrando 2 cdot [x^33]2^4 = 2 (4^33 - 2^33) = 2 (643 - 83) = 2 cdot 563 = 1123 em relação a - 23 cdot [x]2^4 = -23 (4 - 2) = -23 cdot 2 = -43 :
Integrando em relação a :

Passo 6

Finalmente, somamos os dois resultados:
1123 - 43 = 1083 = 36

Resposta

A integral iterada é igual a 36.

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