Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série
converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries e, para isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz, que nos diz para calcular o limite da raiz n-ésima do termo geral da série. O termo geral da nossa série é
. Então, vamos calcular:
Passo 3
Simplificando a expressão dentro do limite:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque
.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 6
Segundo o Teste da Raiz, se o limite calculado for maior que 1, a série diverge. Neste caso,
.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Exercício 15.2, Questão 2.2: Calcule a integral iterada
.
Determine o ponto do paraboloide
mais próximo do ponto
.
Determine na elipse
o ponto mais próximo e o mais distante da reta
.
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre sua soma: