Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: sumn=1^infty 3^n(nn+1)^n^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série sumn=1^infty 3^n(nn+1)^n^2 converge ou diverge. Estamos trabalhando com séries e, para isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz para determinar a convergência ou divergência da série.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz, que nos diz para calcular o limite da raiz n-ésima do termo geral da série. O termo geral da nossa série é an = 3^n(nn+1)^n^2. Então, vamos calcular:
limn to infty raiz[n]an = limn to infty raiz[n]3^n(nn+1)^n^2

Passo 3

Simplificando a expressão dentro do limite:
raiz[n]3^n(nn+1)^n^2 = 3 (nn+1)^n

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de (nn+1)^n quando n tende ao infinito. Sabemos que:
(nn+1)^n = (1 - 1n+1)^n approx e^-1
Isso porque limn to infty (1 - 1n+1)^n = e^-1.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do limite:
limn to infty 3 (nn+1)^n = 3 cdot e^-1 approx 3 cdot 0,3679 approx 1,1037

Passo 6

Segundo o Teste da Raiz, se o limite calculado for maior que 1, a série diverge. Neste caso, 1,1037 > 1.

Resposta

A série sumn=1^infty 3^n(nn+1)^n^2 diverge.

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