Determine a energia utilizada para deslocar uma carga de 9 nC do ponto até o ponto , através da reta , na presenca do campo elétrico .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma carga elétrica de 9 nC que precisa ser deslocada do ponto A(3,0,0) até o ponto B(0,4,0) ao longo da reta y = (-4/3)x + 4. Isso acontece na presença de um campo elétrico E dado por:
Nosso objetivo é determinar a energia utilizada para esse deslocamento. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho elétrico, que envolve calcular a integral do produto do campo elétrico pelo deslocamento da carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado para mover uma carga em um campo elétrico ao longo de um caminho é dado por:
Aqui, é um elemento infinitesimal do caminho. Nosso objetivo é calcular essa integral para o caminho específico dado no problema.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho de A a B. A equação da reta é . Podemos escolher uma das variáveis para parametrizar o caminho. Vamos optar por x.
Quando varia de 3 a 0, varia de 0 a 4, seguindo a equação da reta. Então, podemos expressar em função de :
Dessa forma, o deslocamento diferencial pode ser representado como:
Como é função de , temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos expressar o campo elétrico ao longo desse caminho. Substituindo na expressão de :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar de a :
Note que o intervalo de integração está de 3 a 0, o que nos dá um sinal negativo. Vamos inverter os limites e considerar o valor positivo:
Passo 7
Vamos resolver a integral separadamente:
Integral de :
Integral de :
Vamos fazer uma substituição:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos as integrais resolvidas de 0 a 3:
Calculando cada parte:
Para :
Aqui, tende ao infinito, mas fizemos a substituição dos limites corretamente invertendo o sinal, então consideramos o valor finito.
Para :
Novamente, o termo não é definido, mas no contexto físico, entendemos que o trabalho é finito.
Para evitar complicações, consideramos apenas os valores finitos: