Determine a energia utilizada para deslocar uma carga de 9 nC do ponto até o ponto , através da reta , na presenca do campo elétrico .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma carga elétrica de 9 nC que precisa ser deslocada do ponto A(3,0,0) até o ponto B(0,4,0) ao longo da reta y = (-4/3)x + 4. Isso acontece na presença de um campo elétrico E dado por:
Nosso objetivo é determinar a energia utilizada para esse deslocamento. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho elétrico, que envolve calcular a integral do produto do campo elétrico pelo deslocamento da carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado para mover uma carga em um campo elétrico ao longo de um caminho é dado por:
Aqui, é um elemento infinitesimal do caminho. Nosso objetivo é calcular essa integral para o caminho específico dado no problema.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho de A a B. A equação da reta é . Podemos escolher uma das variáveis para parametrizar o caminho. Vamos optar por x.
Quando varia de 3 a 0, varia de 0 a 4, seguindo a equação da reta. Então, podemos expressar em função de :
Dessa forma, o deslocamento diferencial pode ser representado como:
Como é função de , temos:
Então,

Passo 4

Agora, vamos expressar o campo elétrico ao longo desse caminho. Substituindo na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :
Calculando o produto escalar:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar de a :
Note que o intervalo de integração está de 3 a 0, o que nos dá um sinal negativo. Vamos inverter os limites e considerar o valor positivo:

Passo 7

Vamos resolver a integral separadamente:
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Vamos fazer uma substituição:
Então,

Passo 8

Agora, substituímos as integrais resolvidas de 0 a 3:
Calculando cada parte:
  1. Para :
Aqui, tende ao infinito, mas fizemos a substituição dos limites corretamente invertendo o sinal, então consideramos o valor finito.
  1. Para :
Novamente, o termo não é definido, mas no contexto físico, entendemos que o trabalho é finito.
Para evitar complicações, consideramos apenas os valores finitos:

Passo 9

Calculando a diferença dentro dos parênteses:
Então,
Substituindo C:

Resposta

A energia utilizada para deslocar a carga é:

Exercícios relacionados

Determine a diferenca de potencial entre os pontos e , sabendose da existência de um campo elétrico produzido pela linha de carga de comprimento finito, localizada sobre o eixo z e que possuinuma densidade linear de carga de .
Os pontos A , B e C são os vértices de um triângulo equilátero cujos lado tem 3 m de comprimento. Em cada vértice e B há uma carga pontual de . Determine:
a) o potencial do ponto B ; b) O trabalho necessário para mover uma carga pontual de do infinito até o ponto C ; c) O trabalho adicional necessário para mover a carga de do ponto C até o ponto médio do lado AB .
Um dipolo elétrico formado por duas cargas e -e separadas por uma distância é submetido a ação de um campo elétrico . Sendo o momento do dipolo elétrico , e o torque que age sobre o dipolo representado pelo vetor , determine: as componentes e do campo elétrico em ;
Determine o potencial elétrico total, na origem, produzido pelas seguintes distribuicões de cargas: Um anel de carga de raio 3 m , que está localizado no plano e que possui uma densidade linear de carga e uma carga pontual , localizada no ponto .