Determine os pontos do eixo das ordenadas tais que sua distância à reta s: y=-2x-1 seja igual a 2. resp.: P=(0,2raiz5-1) e Q=(0,-2raiz5-1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica. A questão pede para encontrar pontos no eixo das ordenadas (o eixo ) que estão a uma distância de 2 unidades da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a distância d = |Ax0 + By0 + C|raizA^2 + B^2 entre um ponto e uma reta da forma :

Passo 3

Nossa reta y + 2x + 1 = 0 está na forma . Para usar a fórmula da distância, precisamos reescrevê-la na forma geral . Vamos rearranjar os termos:
Então, , e .

Passo 4

Como estamos procurando pontos no eixo das ordenadas, esses pontos têm coordenada . Vamos chamar um ponto qualquer no eixo das ordenadas de .

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância com 2 = |2(0) + 1(y) + 1|raiz2^2 + 1^2 2 = |y + 1|raiz5 e , temos:

Passo 6

Agora, resolvemos para |y + 1| = 2 raiz5 :
y + 1 = 2 raiz5 ou y + 1 = -2 raiz5
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Resolvendo as duas equações:


Resposta

Os pontos são e .

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