Determine uma equação cartesiana para o plano que contém os pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelos pontos , e . Isso está dentro do conteúdo de geometria analítica no estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial e a fórmula geral da equação de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um plano no espaço pode ser definido por três pontos que não estão todos na mesma reta. Para encontrar a equação desse plano, precisamos de um vetor normal a ele. Para isso, vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados.

Passo 3

Vamos formar dois vetores usando os pontos , e :

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: e . O próximo passo é encontrar um vetor normal ao plano, que pode ser obtido fazendo o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 5

Calculando o produto vetorial :
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Com o vetor normal e um dos pontos do plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a fórmula da equação geral do plano:
Onde e é o ponto no plano.

Passo 7

Substituindo os valores:
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação cartesiana do plano é:

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