Determine uma equação cartesiana para o plano que contém os pontos
A=(3,2,-1), B=(1,-1,2), C=(2,0,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação cartesiana de um plano que passa pelos pontos , e . Isso está dentro do conteúdo de geometria analítica no estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial e a fórmula geral da equação de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um plano no espaço pode ser definido por três pontos que não estão todos na mesma reta. Para encontrar a equação desse plano, precisamos de um vetor normal a ele. Para isso, vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados.

Passo 3

Vamos formar dois vetores usando os pontos AB = B - A = (1 - 3,, -1 - 2,, 2 - (-1)) = (-2, -3, 3) , AC = C - A = (2 - 3,, 0 - 2,, 3 - (-1)) = (-1, -2, 4) e :

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano: e . O próximo passo é encontrar um vetor normal ao plano, que pode ser obtido fazendo o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 5

Calculando o produto vetorial AB times AC = i & j & k -2 & -3 & 3 -1 & -2 & 4 = i((-3)(4) - (3)(-2)) - j((-2)(4) - (3)(-1)) + k((-2)(-2) - (-3)(-1)) :
= i(-12 + 6) - j(-8 + 3) + k(4 - 3)
= i(-6) - j(-5) + k(1)
= (-6, 5, 1)
Então, o vetor normal é .

Passo 6

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um dos pontos do plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a fórmula da equação geral do plano:
Onde e é o ponto no plano.

Passo 7

Substituindo os valores:
-6(x - 3) + 5(y - 2) + 1(z - (-1)) = 0
Distribuindo os termos:
-6x + 18 + 5y - 10 + z + 1 = 0
Simplificando:
-6x + 5y + z + 9 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é:
-6x + 5y + z + 9 = 0

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