Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos A= (3,2,-1), B=(1,-1,2) e é paralelo a reta X=(1,-1,0)+t(3,2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos A(3,2,-1) e B(1,-1,2) e que é paralela à reta X=(1,-1,0)+t(3,2,-2). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar um vetor normal ao plano e usar esse vetor para formular a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de A até B. Esse vetor é dado por:
AB = B - A = (1-3, -1-2, 2-(-1)) = (-2, -3, 3)
Esse vetor está no plano que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que o plano também é paralelo à reta X, cuja direção é dada pelo vetor v = (3,2,-2). Como a reta é paralela ao plano, esse vetor também está no plano.

Passo 4

Agora temos dois vetores que estão no plano: AB = (-2, -3, 3) e v = (3,2,-2). Para encontrar um vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = AB times v = i & j & k -2 & -3 & 3 3 & 2 & -2
Calculando o determinante:
n = i((-3)(-2) - (3)(2)) - j((-2)(-2) - (3)(3)) + k((-2)(2) - (-3)(3))
n = i(6 - 6) - j(4 - 9) + k(-4 + 9)
n = i(0) - j(-5) + k(5)
n = (0,5,5)
Então, o vetor normal ao plano é n = (0,5,5).

Passo 5

Com o vetor normal n = (0,5,5) e sabendo que o plano passa pelo ponto A(3,2,-1), podemos usar a equação geral do plano:
n cdot (X - A) = 0
Onde X = (x,y,z) é um ponto qualquer no plano. Substituindo os valores:
0(x - 3) + 5(y - 2) + 5(z + 1) = 0
0 + 5y - 10 + 5z + 5 = 0
5y + 5z - 5 = 0

Resposta

A equação geral do plano é 5y + 5z - 5 = 0.

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