Determine valores para
e
de modo que o conjunto
seja LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar valores para
e
de forma que o conjunto de duas matrizes seja linearmente dependente (LD). Isso quer dizer que uma matriz pode ser escrita como múltiplo escalar da outra. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência linear de vetores (ou matrizes, no caso). Vamos precisar comparar as entradas correspondentes das duas matrizes para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas matrizes do conjunto:
Queremos que
seja um múltiplo escalar de
, ou seja, existe um número
tal que:
Isso significa que cada entrada de
é igual a
vezes a entrada correspondente de
.
Passo 3
Vamos igualar as entradas correspondentes das matrizes:
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar
,
e
.
Passo 4
Da terceira equação:
Agora que temos
, vamos substituir esse valor nas outras equações.
Passo 5
Usando a primeira equação:
Então,
.
Passo 6
Agora, na segunda equação:
Resolvendo para
:
Passo 7
Por fim, vamos verificar a quarta equação com os valores encontrados:
Calculando o lado direito:
Mas isso não bate com
. Parece que houve um conflito, então vamos revisar.
Passo 8
Na verdade, a quarta equação nos dá:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso significa que
. Vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar
:
Resposta
Os valores que tornam o conjunto linearmente dependente são
e
.
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gerado por
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e
. Construa uma base de
que contenha os vetores
e
Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade: