Qual o subespaço de R^2 gerado por X=(1,2),(-1,2),(5,3). Deste conjunto, extraia uma base para S(X)

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é o subespaço de que é gerado pelos vetores . Depois disso, vamos tirar uma base desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e independência linear. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por . Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores que, usando combinações lineares, consegue atingir todos os vetores desse espaço. No nosso caso, estamos trabalhando em , que é um plano bidimensional.
Então, será todo o conjunto de vetores que podemos formar fazendo combinações lineares dos vetores em . A combinação linear de vetores é quando multiplicamos cada vetor por um escalar (um número) e somamos os resultados. Por exemplo, se tivermos vetores e , uma combinação linear seria , onde e são números reais.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os vetores em 1 & -1 & 5 2 & 2 & 3 são linearmente independentes. Se eles forem, todos estarão na base. Caso contrário, alguns deles podem ser escritos como combinações dos outros, e então não seriam necessários para a base.
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos montar a matriz:
Determinante = (1)(2) - (-1)(2) = 2 + 2 = 4 neq 0
Calculando o determinante de matrizes , usamos a fórmula .
Vamos pegar os primeiros dois vetores:
Como o determinante não é zero, os dois primeiros vetores e são linearmente independentes. Isso significa que o terceiro vetor pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros.

Passo 4

Como vimos que os dois primeiros vetores são independentes e já geram o subespaço, não precisamos do terceiro vetor para a base. Portanto, a base para é apenas .

Resposta

O subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de e em , e uma base para é .

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