Qual o subespaço de
gerado por
. Deste conjunto, extraia uma base para
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir qual é o subespaço de
que é gerado pelos vetores
. Depois disso, vamos tirar uma base desse conjunto. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre subespaços vetoriais e independência linear. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço gerado por
. Um subespaço vetorial é basicamente um conjunto de vetores que, usando combinações lineares, consegue atingir todos os vetores desse espaço. No nosso caso, estamos trabalhando em
, que é um plano bidimensional.
Então,
será todo o conjunto de vetores que podemos formar fazendo combinações lineares dos vetores em
. A combinação linear de vetores é quando multiplicamos cada vetor por um escalar (um número) e somamos os resultados. Por exemplo, se tivermos vetores
e
, uma combinação linear seria
, onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se os vetores em
são linearmente independentes. Se eles forem, todos estarão na base. Caso contrário, alguns deles podem ser escritos como combinações dos outros, e então não seriam necessários para a base.
Para verificar a independência linear, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos montar a matriz:
Calculando o determinante de matrizes
, usamos a fórmula
.
Vamos pegar os primeiros dois vetores:
Como o determinante não é zero, os dois primeiros vetores
e
são linearmente independentes. Isso significa que o terceiro vetor
pode ser escrito como uma combinação dos dois primeiros.
Passo 4
Como vimos que os dois primeiros vetores são independentes e já geram o subespaço, não precisamos do terceiro vetor para a base. Portanto, a base para
é apenas
.
Resposta
O subespaço
é o conjunto de todas as combinações lineares de
e
em
, e uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação cartesiana para o plano que contém os pontos
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
e
Determine valores para
e
de modo que o conjunto
seja LD.
Use a teoria a respeito de dependência linear para determinar a equação do plano gerado pelos vetores
e
. Construa uma base de
que contenha os vetores
e