Use a Regra de Cramer para resolver o sistema:
3 x+2 y-5 z & =8 2 x-4 y-2 z & =-4 x-2 y-3 z & =-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a Regra de Cramer pra resolver um sistema de três equações com três incógnitas. A matéria aqui envolve sistemas lineares e determinantes. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular alguns determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular o determinante principal. A matriz dos coeficientes é:
A = 3 & 2 & -5 2 & -4 & -2 1 & -2 & -3
O determinante de De, que vamos chamar de -4 & -2 -2 & -3 = (-4)(-3) - (-2)(-2) = 12 - 4 = 8 , é calculado assim:
2 & -2 1 & -3 = (2)(-3) - (-2)(1) = -6 + 2 = -4
Calculando cada menor:
2 & -4 1 & -2 = (2)(-2) - (-4)(1) = -4 + 4 = 0
De
Agora, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos calcular Ax = 8 & 2 & -5 -4 & -4 & -2 -4 & -2 & -3 , que é o determinante onde substituímos a coluna de De pelos termos independentes (última coluna do sistema: 8, -4, -4). A matriz fica:
-4 & -2 -2 & -3 = (-4)(-3) - (-2)(-2) = 12 - 4 = 8
Calculando -4 & -2 -4 & -3 = (-4)(-3) - (-2)(-4) = 12 - 8 = 4 :
-4 & -4 -4 & -2 = (-4)(-2) - (-4)(-4) = 8 - 16 = -8
Calculando cada menor:
De
Substituindo:

Passo 4

Vamos calcular Ay = 3 & 8 & -5 2 & -4 & -2 1 & -4 & -3 , substituindo a coluna de De pelos termos independentes:
-4 & -2 -4 & -3 = (-4)(-3) - (-2)(-4) = 12 - 8 = 4
Calculando 2 & -2 1 & -3 = (2)(-3) - (-2)(1) = -6 + 2 = -4 :
2 & -4 1 & -4 = (2)(-4) - (-4)(1) = -8 + 4 = -4
Calculando cada menor:
De
Substituindo:

Passo 5

Por último, vamos calcular Az = 3 & 2 & 8 2 & -4 & -4 1 & -2 & -4 , substituindo a coluna de De pelos termos independentes:
-4 & -4 -2 & -4 = (-4)(-4) - (-4)(-2) = 16 - 8 = 8
Calculando 2 & -4 1 & -4 = (2)(-4) - (-4)(1) = -8 + 4 = -4 :
2 & -4 1 & -2 = (2)(-2) - (-4)(1) = -4 + 4 = 0
Calculando cada menor:
De
Substituindo:

Resposta

Aplicando a Regra de Cramer, encontramos:
x = De
y = De
z = De
Portanto, a solução do sistema é , e .

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