Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Determine o valor de para o caso em que e .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa por um ponto específico e é perpendicular a um vetor dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano é dada por:
Onde é um ponto do plano e é o vetor normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto pertence ao plano, então . Além disso, o vetor dado é perpendicular ao plano, ou seja, ele é o vetor normal. Então, .
Passo 4
Substituindo esses valores na equação geral do plano:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Somando os termos constantes:
Passo 6
Podemos reescrever a equação do plano de forma mais simples:
Passo 7
Agora, vamos determinar o valor de quando e . Substituindo esses valores na equa��ão: