Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Determine o valor de
para o caso em que
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa por um ponto específico e é perpendicular a um vetor dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano é dada por:
Onde
é um ponto do plano e
é o vetor normal ao plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto
pertence ao plano, então
. Além disso, o vetor dado
é perpendicular ao plano, ou seja, ele é o vetor normal. Então,
.
Passo 4
Substituindo esses valores na equação geral do plano:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Somando os termos constantes:
Passo 6
Podemos reescrever a equação do plano de forma mais simples:
Passo 7
Agora, vamos determinar o valor de
quando
e
. Substituindo esses valores na equa��ão:
Passo 8
Calculamos os termos:
Simplificando:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
O valor de
é
.