Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Determine o valor de para o caso em que e .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa por um ponto específico e é perpendicular a um vetor dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano é dada por:
Onde é um ponto do plano e é o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto pertence ao plano, então . Além disso, o vetor dado é perpendicular ao plano, ou seja, ele é o vetor normal. Então, .

Passo 4

Substituindo esses valores na equação geral do plano:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Somando os termos constantes:

Passo 6

Podemos reescrever a equação do plano de forma mais simples:

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor de quando e . Substituindo esses valores na equa��ão:

Passo 8

Calculamos os termos:
Simplificando:

Passo 9

Isolando :

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Seja o plano que contém o ponto e é paralelo aos vetores e :
a) obtenha a equação vetorial do plano;
b) obtenha as equações paramétricas
c) verifique se o ponto pertence ao plano;
d) verifique se o vetor é paralelo a .
Para cada um dos sistemas lineares:
(I)
(b) Escreva cada sistema linear como um produto de matrizes, isto é, .
Determine a posição relativa entre os planos:
a) e ;
b) e .
Verifique se os planos abaixo são perpendiculares
a)
b)