Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A(10,-2,-6) e é perpendicular ao vetor v=(8,-1,4). Determine o valor de z para o caso em que x=-8 e y=-10.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de um plano que passa por um ponto específico e é perpendicular a um vetor dado. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre equações de planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto do plano e (a, b, c) é o vetor normal ao plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto A(10, -2, -6) pertence ao plano, então (x0, y0, z0) = (10, -2, -6). Além disso, o vetor dado v = (8, -1, 4) é perpendicular ao plano, ou seja, ele é o vetor normal. Então, (a, b, c) = (8, -1, 4).

Passo 4

Substituindo esses valores na equação geral do plano:
8(x - 10) -1(y + 2) +4(z +6) = 0

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
8x - 80 - y - 2 + 4z + 24 = 0
Somando os termos constantes:
8x - y + 4z -58 = 0

Passo 6

Podemos reescrever a equação do plano de forma mais simples:
8x - y + 4z = 58

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor de z quando x = -8 e y = -10. Substituindo esses valores na equa��ão:
8(-8) - (-10) +4z = 58

Passo 8

Calculamos os termos:
-64 +10 +4z = 58
Simplificando:
-54 +4z = 58

Passo 9

Isolando z:
4z = 58 +54 4z = 112 z = 1124 z = 28

Resposta

O valor de z é 28.

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