Seja o plano definido pelos vetores diretores e e contendo o ponto . Determine:
as equações do plano ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano , que é definido pelos vetores diretores e , e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e geometria analítica, especialmente a ideia de vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal ao plano . O vetor normal é aquele que é perpendicular a todo vetor que está no plano. Como e são vetores diretores do plano, o vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial entre e .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Isso dá:
n = ( (-1)(-2) - (3)(4) ) i - ( (2)(-2) - (3)(1) ) j + ( (2)(4) - (-1)(1) ) k
n = (2 - 12) i - (-4 - 3) j + (8 + 1) k
n = (-10, 7, 9)
Passo 4
Agora que temos o vetor normal n = (-10, 7, 9), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto dado no plano, que neste caso é P(-3, 5, 1).