Seja pi o plano definido pelos vetores diretores u=(2,-1,3) e v=(1,4,-2) e contendo o ponto P(-3,5,1). Determine:
as equações do plano pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações do plano pi, que é definido pelos vetores diretores u = (2, -1, 3) e v = (1, 4, -2), e passa pelo ponto P(-3, 5, 1). Para isso, vamos usar conhecimentos de vetores e geometria analítica, especialmente a ideia de vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar um vetor normal ao plano pi. O vetor normal é aquele que é perpendicular a todo vetor que está no plano. Como u e v são vetores diretores do plano, o vetor normal pode ser encontrado usando o produto vetorial entre u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times v:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 4 & -2
Isso dá:
n = ( (-1)(-2) - (3)(4) ) i - ( (2)(-2) - (3)(1) ) j + ( (2)(4) - (-1)(1) ) k
n = (2 - 12) i - (-4 - 3) j + (8 + 1) k
n = (-10, 7, 9)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n = (-10, 7, 9), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto dado no plano, que neste caso é P(-3, 5, 1).

Passo 5

Substituindo os valores na equação do plano:
-10(x - (-3)) + 7(y - 5) + 9(z - 1) = 0
Simplificando:
-10(x + 3) + 7(y - 5) + 9(z - 1) = 0
-10x - 30 + 7y - 35 + 9z - 9 = 0
-10x + 7y + 9z - 74 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
-10x + 7y + 9z - 74 = 0

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